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<!DOCTYPE html>

<title>OPTICS</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">OPTICS</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">OPTICS (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> Ordering Points To Identify the Clustering Structure ‚[etwa] Punkte ordnen um die Clusterstruktur zu identifizieren‘) ist ein dichtebasierter <a href="Algorithmus" title="Algorithmus">Algorithmus</a> zur <a href="Clusteranalyse" title="Clusteranalyse">Clusteranalyse</a>. Er wurde von Mihael Ankerst, Markus M. Breunig, <a href="Hans-Peter_Kriegel" title="Hans-Peter Kriegel">Hans-Peter Kriegel</a> und Jörg Sander entwickelt.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Das Grundprinzip des Algorithmus entstammt <a href="DBSCAN" title="DBSCAN">DBSCAN</a>,<a href="#cite_note-2">[2]</a> jedoch löst der Algorithmus eine wichtige Schwäche des DBSCAN-Algorithmus: im Gegensatz zu diesem kann er Cluster unterschiedlicher Dichte erkennen. Gleichzeitig eliminiert er (weitgehend) den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Parameter des DBSCAN-Algorithmus. Hierzu ordnet OPTICS die Punkte des Datensatzes linear so, dass räumlich benachbarte Punkte in dieser Ordnung nahe aufeinander folgen. Gleichzeitig wird die sogenannte „Erreichbarkeitsdistanz“ notiert. Zeichnet man diese Erreichbarkeitsdistanzen in ein Diagramm, so bilden Cluster „Täler“ und können so identifiziert werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Kernidee">Kernidee</h2></div>

OPTICS verwendet wie DBSCAN zwei Parameter, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle minPts}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle minPts}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3398a9ae4aab3a441aa8006ddb54f92bd329455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle minPts}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> spielt hier jedoch die Rolle einer Maximaldistanz und dient vor allem dazu, die <a href="Komplexit%C3%A4t_(Informatik)" title="Komplexität (Informatik)">Komplexität</a> des Algorithmus zu begrenzen. Setzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon =\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon =\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6ce02c7fd97107882067d9811c335f0bcf3a23a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.506ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon =\infty }" loading="lazy">, so ist die Komplexität des Algorithmus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n^{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cd9594a16cb898b8f2a2dff9227a385ec183392.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.032ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O(n^{2})}" loading="lazy">, andernfalls kann sie mit Hilfe von geeigneten räumlichen <a href="Datenbankindex" title="Datenbankindex">Indexstrukturen</a> wie dem <a href="R*-Baum" class="mw-redirect" title="R*-Baum">R*-Baum</a> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n\cdot \log n)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n\cdot \log n)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/837218b6d28ce003c0f81f7af156da3ede782fe1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.41ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle O(n\cdot \log n)}" loading="lazy"> reduziert werden. Ohne diese Optimierung hingegen verbleibt die Komplexität bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle O(n^{2})}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle O(n^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cd9594a16cb898b8f2a2dff9227a385ec183392.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.032ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle O(n^{2})}" loading="lazy"> für endliche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">.

In DBSCAN ist ein Punkt ein „Kernpunkt“, wenn seine <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Umgebung mindestens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle minPts}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle minPts}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3398a9ae4aab3a441aa8006ddb54f92bd329455.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.913ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle minPts}" loading="lazy"> Punkte enthält. In OPTICS hingegen wird geschaut, ab wann ein Punkt ein Kernpunkt wäre. Das wird mit der „Kerndistanz“ umgesetzt, also demjenigen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Wert, ab dem ein Punkt in DBSCAN ein „Kernpunkt“ wäre. Gibt es kein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">, mit dem ein Punkt ein Kernpunkt wäre, ist dessen Kerndistanz unendlich oder „undefiniert“.

Die „Erreichbarkeitsdistanz“ eines Punktes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> von einem zweiten Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle o}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle o}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0c1031f61947aa3d1cf3a70ec3e4904df2c3675d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.128ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle o}" loading="lazy"> ist definiert als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \max(kerndistanz(o),dist(o,p))}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \max(kerndistanz(o),dist(o,p))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75555ff39546aad3b95883e72849a216ef4f2947.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \max(kerndistanz(o),dist(o,p))}" loading="lazy">, also als das Maximum des echten Abstandes und der Kerndistanz des verweisenden Punktes.

OPTICS ordnet jetzt die Objekte in der Datenbank, indem es bei einem beliebigen unbearbeiteten Punkt anfängt, die Nachbarn in der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Umgebung ermittelt und sie sich nach ihrer bisher besten Erreichbarkeitsdistanz in einer <a href="Vorrangwarteschlange" title="Vorrangwarteschlange">Vorrangwarteschlange</a> merkt. Es wird jetzt immer derjenige Punkt als Nächstes in die Ordnung aufgenommen, der die kleinste Erreichbarkeitsdistanz hat. Durch das Verarbeiten eines neuen Punktes können sich die Erreichbarkeitsdistanzen der unverarbeiteten Punkte verbessern. Durch die Sortierung dieser Vorrangwarteschlange verarbeitet OPTICS einen detektierten Cluster vollständig, bevor er beim nächsten Cluster weitermacht.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Visualisierung">Visualisierung</h2></div>

OPTICS kann als Erreichbarkeitsdiagramm (unten) visualisiert werden. Hierbei sind die Punkte entlang der x-Achse nach der von OPTICS berechneten Ordnung sortiert, und auf der y-Achse ist die Erreichbarkeitsdistanz angegeben. „Täler“ in diesem Diagramm entsprechen erkannten Clustern im Datensatz; die Tiefe des Tales zeigt die Dichte des Clusters an.

Als zusätzliche Visualisierung wird hier (rechts oben) jeder Punkt mit seinem Erreichbarkeits-Vorgänger verbunden. Der so entstehende <a href="Spannbaum" title="Spannbaum">Spannbaum</a> visualisiert die von OPTICS ermittelte Dichte-Verbundenheit der Punkte im Datensatz. Als Parameter wurden hier <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon \leq 0.5}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon \leq 0.5}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51c2a794221890d69e2bc241e47522b7c42409e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:7.154ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon \leq 0.5}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle minPts=10}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle minPts=10}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c89b2cb5d645e87345f0aef6c449d17860adc09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:13.336ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle minPts=10}" loading="lazy"> verwendet. Diese Visualisierung wurde mit der OPTICS-Implementierung in <a href="Environment_for_DeveLoping_KDD-Applications_Supported_by_Index-Structures" title="Environment for DeveLoping KDD-Applications Supported by Index-Structures">ELKI</a> erstellt.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Pseudocode">Pseudocode</h2></div>

Der Grundansatz von OPTICS ist ähnlich zu dem von <a href="DBSCAN" title="DBSCAN">DBSCAN</a>, aber statt eine Menge von „bekannten aber noch nicht verarbeiteten“ Objekten zu pflegen, werden diese in einer <a href="Vorrangwarteschlange" title="Vorrangwarteschlange">Vorrangwarteschlange</a> (beispielsweise einem indizierten <a href="Heap_(Datenstruktur)" title="Heap (Datenstruktur)">Heap</a>) verwaltet.

<pre> OPTICS(DB, eps, MinPts)

for each point p of DB

p.reachability-distance = UNDEFINED

for each unprocessed point p of DB

N = getNeighbors(p, eps)

mark p as processed

output p to the ordered list

Seeds = empty priority queue

if (core-distance(p, eps, Minpts) != UNDEFINED)

update(N, p, Seeds, eps, Minpts)

for each next q in Seeds

N' = getNeighbors(q, eps)

mark q as processed

output q to the ordered list

if (core-distance(q, eps, Minpts) != UNDEFINED)

update(N', q, Seeds, eps, Minpts)

</pre>

In update() wird die Vorrangwarteschlange mit der <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Umgebung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"> bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"> aktualisiert:

<pre> update(N, p, Seeds, eps, Minpts)

coredist = core-distance(p, eps, MinPts)

for each o in N

if (o is not processed)

new-reach-dist = max(coredist, dist(p,o))

if (o.reachability-distance == UNDEFINED) // o is not in Seeds

o.reachability-distance = new-reach-dist

Seeds.insert(o, new-reach-dist)

else // o in Seeds, check for improvement

if (new-reach-dist < o.reachability-distance)

o.reachability-distance = new-reach-dist

Seeds.move-up(o, new-reach-dist)

</pre>

OPTICS gibt die Punkte also in einer bestimmten Reihenfolge aus, annotiert mit ihrer kleinsten Erreichbarkeitsdistanz (der veröffentlichte Algorithmus speichert auch die Kerndistanz, sie wird aber nicht weiter benötigt).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erweiterungen">Erweiterungen</h2></div>

OPTICS-OF<a href="#cite_note-3">[3]</a> ist ein auf OPTICS aufbauendes Verfahren zur <a href="Ausrei%C3%9Fer" title="Ausreißer">Ausreißer</a>-Erkennung. Ein wichtiger Vorteil ist hier, dass Cluster im Zuge eines normalen OPTICS-Laufes ermittelt werden können, ohne eine separate Ausreißer-Erkennung durchführen zu müssen.

DeLiClu,<a href="#cite_note-4">[4]</a> Density-Link-Clustering kombiniert Ideen von <a href="Hierarchische_Clusteranalyse#Single-Linkage" title="Hierarchische Clusteranalyse">Single-Linkage Clustering</a> und OPTICS, eliminiert so den <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy">-Parameter und erzielt eine verbesserte Performanz gegenüber OPTICS durch Verwendung eines <a href="R-Baum" title="R-Baum">R-Baumes</a> als Index.

HiSC<a href="#cite_note-5">[5]</a> ist ein hierarchisches (achsen-paralleles) Unterraum-Clustering-Verfahren.

HiCO<a href="#cite_note-6">[6]</a> ist ein hierarchisches Clustering-Verfahren für beliebig orientierte Unterräume.

DiSH<a href="#cite_note-7">[7]</a> ist eine Verbesserung von HiSC für komplexere Hierarchien (mit Schnitten von Unterräumen).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verfügbarkeit">Verfügbarkeit</h2></div>

Eine Referenzimplementierung ist im Software-Paket <a href="Environment_for_DeveLoping_KDD-Applications_Supported_by_Index-Structures" title="Environment for DeveLoping KDD-Applications Supported by Index-Structures">ELKI</a> des Lehrstuhls verfügbar, inklusive Implementierungen von <a href="DBSCAN" title="DBSCAN">DBSCAN</a> und anderen Vergleichsverfahren.

Im Modul „<a href="Scikit-learn" title="Scikit-learn">scikit-learn</a>“ ist eine Implementierung von OPTICS in Python seit der Version scikit-learn v0.21.2 enthalten<a href="#cite_note-8">[8]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Mihael Ankerst, Markus M. Breunig, <a href="Hans-Peter_Kriegel" title="Hans-Peter Kriegel">Hans-Peter Kriegel</a>, Jörg Sander: <cite style="font-style:italic">OPTICS: Ordering Points To Identify the Clustering Structure</cite>. In: <cite style="font-style:italic">ACM SIGMOD international conference on Management of data</cite>. ACM Press, 1999, S. 49–60 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.129.6542">CiteSeerX</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:OPTICS&rft.atitle=OPTICS%3A+Ordering+Points+To+Identify+the+Clustering+Structure&rft.au=Mihael+Ankerst%2C+Markus+M.+Breunig%2C+Hans-Peter+Kriegel%2C+...&rft.btitle=ACM+SIGMOD+international+conference+on+Management+of+data&rft.date=1999&rft.genre=book&rft.pages=49-60&rft.pub=ACM+Press" style="display:none">

</li>

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<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> E. Achtert, C. Böhm, P. Kröger: <cite style="font-style:italic">DeLi-Clu: Boosting Robustness, Completeness, Usability, and Efficiency of Hierarchical Clustering by a Closest Pair Ranking</cite>. 2006, S. 119, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/11731139_16">10.1007/11731139_16</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:OPTICS&rft.au=E.+Achtert%2C+C.+B%C3%B6hm%2C+P.+Kr%C3%B6ger&rft.btitle=DeLi-Clu%3A+Boosting+Robustness%2C+Completeness%2C+Usability%2C+and+Efficiency+of+Hierarchical+Clustering+by+a+Closest+Pair+Ranking&rft.date=2006&rft.doi=10.1007%2F11731139_16&rft.genre=book&rft.pages=119" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> E. Achtert, C. Böhm, <a href="Hans-Peter_Kriegel" title="Hans-Peter Kriegel">Hans-Peter Kriegel</a>, P. Kröger, I. Müller-Gorman, A. Zimek: <cite style="font-style:italic">Finding Hierarchies of Subspace Clusters</cite>. 2006, S. 446, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/11871637_42">10.1007/11871637_42</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:OPTICS&rft.au=E.+Achtert%2C+C.+B%C3%B6hm%2C+Hans-Peter+Kriegel%2C+...&rft.btitle=Finding+Hierarchies+of+Subspace+Clusters&rft.date=2006&rft.doi=10.1007%2F11871637_42&rft.genre=book&rft.pages=446" style="display:none">

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<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> E. Achtert, C. Böhm, P. Kröger, A. Zimek: <cite style="font-style:italic">Mining Hierarchies of Correlation Clusters</cite>. 2006, S. 119, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1109/SSDBM.2006.35">10.1109/SSDBM.2006.35</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:OPTICS&rft.au=E.+Achtert%2C+C.+B%C3%B6hm%2C+P.+Kr%C3%B6ger%2C+...&rft.btitle=Mining+Hierarchies+of+Correlation+Clusters&rft.date=2006&rft.doi=10.1109%2FSSDBM.2006.35&rft.genre=book&rft.pages=119" style="display:none">

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<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> E. Achtert, C. Böhm, <a href="Hans-Peter_Kriegel" title="Hans-Peter Kriegel">Hans-Peter Kriegel</a>, P. Kröger, I. Müller-Gorman, A. Zimek: <cite style="font-style:italic">Detection and Visualization of Subspace Cluster Hierarchies</cite>. 2007, S. 152, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-540-71703-4_15">10.1007/978-3-540-71703-4_15</a>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:OPTICS&rft.au=E.+Achtert%2C+C.+B%C3%B6hm%2C+Hans-Peter+Kriegel%2C+...&rft.btitle=Detection+and+Visualization+of+Subspace+Cluster+Hierarchies&rft.date=2007&rft.doi=10.1007%2F978-3-540-71703-4_15&rft.genre=book&rft.pages=152" style="display:none">

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<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> <a rel="nofollow" class="external text" href="https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.cluster.OPTICS.html#sklearn.cluster.OPTICS">sklearn.cluster.OPTICS — scikit-learn 0.21.2 documentation.</a> Abgerufen am 3. Juli 2019.<span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AOPTICS&rft.title=sklearn.cluster.OPTICS+%E2%80%94+scikit-learn+0.21.2+documentation&rft.description=sklearn.cluster.OPTICS+%E2%80%94+scikit-learn+0.21.2+documentation&rft.identifier=https%3A%2F%2Fscikit-learn.org%2Fstable%2Fmodules%2Fgenerated%2Fsklearn.cluster.OPTICS.html%23sklearn.cluster.OPTICS">

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